Teorema di Weierstrass

Una funzione $f$ continua su un intervalli limitato e chiuso è dotata di massimo e di mimimo.
$$ \text{Ipotesi} \\ E := sup f([a, b]) \\ \forall x, f(x) \le E \\ \text{Tesi} \\ E \in f([a, b]) \\ $$ Dimostro per assurdo ponendo $f(x) \le E$ $$ E - f(x) \ge 0 \\ g(x) = \frac{1}{E - f(x)} \\ E \text{ è il più piccolo dei maggioranti} \Rightarrow \\ \forall \epsilon \gt 0; \exists x_0 \\ E - \epsilon \lt f(x_0) \le E \\ E-f(x_0) \le \epsilon \\ \frac{1}{E - f(x)} = g(x) \gt \frac{1}{\epsilon} = M \\ $$ Ho dimostrato che la funzione g(x) è illimitata superiormente, ma la mia tesi per assurdo era che $f(x) \le E$ quindi ho trovato una contraddizione.

Teorema dei valori intermedi

Una funzione continua non può passare da valori negativi a positivi (o viceversa) senza annullarsi almeno in un punto.
Procedo per dimezzamenti. $$ f(x): A \mapsto [a, b] \subset R \\ a \lt 0, b \gt 0 \\ $$ Creo due successioni $a_n, b_n$ dimezzando ogni volta il mio intervallo $[a, b]$ tramite il punto medio $c$.
Prendendo quindi i miei $a, b$ successivi come gli estremi dell'intervallo che contiene lo 0.
Se durante questi passaggi $f(c) = 0$ allora la tesi è dimostrata. In caso contrario ottengo le due successioni due successioni che puntano a un medesimo valore f(x_0): $$ a_n \text{ Monotona crescente tutta negativa } \to f(x_0) \\ b_n \text{ Monotona decrescente tutta positiva } \to f(x_0) $$ Per come ho definito entrambe le successioni ho che $$ f(a_n)f(b_n) \le 0 \\ \text {al tendere all'infinito} \\ f(x_0)f(x_0) \le 0 \\ \text {essendo una successione che assume solo valori negativi} \\ 0 \le f(x_0)^2 \le 0 $$ Quindi $f(x_0)$ è per forza 0

Posso estendre questa dimostrazione dicendo che ogni funzione continua in un intervallo non può assumere due valori senza assumere tutti i valori intermedi.

$$ \text{Ipotesi} \\ f: I \mapsto R \\ f(x_1) = y_1 \le y_2 = f(x_2) \\ \text{Tesi} \\ \forall y; y_1 \lt y \lt y_2 \\ \exists x \in (x_1, x_2) \Rightarrow f(x) = y \\ \text{Mi riporto al caso precedente} \\ g(x) = f(x) - y \\ g(x_1) \lt 0; g(x_2) \gt 0 \Rightarrow \\ \exists x; g(x) = 0 \Rightarrow f(x) = y \\ $$

Posso traslare qualsiasi funzione in modo che il punto intermedio sia 0 e i due estremi siano uno positivo e uno negativo.

Quindi una funzione continua trasforma intervalli in intervalli dello stesso tipo. Se il dominio di una funzione continua è limitato è chiuso quindi anche il codominio sarà limitato è chiuso.

Inversa di una funzione continua (fuzione iniettiva)

Sia $$ f : A \mapsto B, f \text{ continua} $$ viene detta iniettiva se per ogni valori in ingresso corrisponde uno e uno solo valore in uscita e per ogni valore in uscita esiste uno e un solo punto in ingresso.
Se f è iniettiva $$ \exists f^{-1}: B \mapsto A,\\ f(x) = y; f^{-1}(y) = x; \text{ x unico e y unico} \\ $$

Un caso specifico $$ f: I \mapsto J, \text{ Continua e Strettamente Monotona} \\ \exists f^{-1}: J \mapsto I \text{ Continua e Strettamente Monotona} \\ $$

Esempi

Esponenziale

$$ f: [0, +\infty) \mapsto [0, +\infty), f(x) = x^a \\ f^{-1}: [0, +\infty) \mapsto [0, +\infty), f^{-1}(x) = \sqrt[a]{x} \\ $$

Logaritmo

$$ f: R \mapsto R f(x) = a^{x} \\ f^{-1}: R \mapsto R, f^{-1}(x) = \log_a(x) \\ $$

Seno

Per il seno devo restringere il dominio nella zona non periodica in cui la funzione è strettamente crescente $$ f: [-\frac{\varphi}{2}, \frac{\varphi}{2}] \mapsto [-1, 1], f(x) = \sin x \\ f^{-1}: [-1, 1] \mapsto [-\frac{\varphi}{2}, \frac{\varphi}{2}], f(x) = \sin^{-1} x \\ $$